Le cercle mathématique autour de Spinoza

Yvonne TOROS

Conférence au C.N.R.S., au laboratoire E.R. 75, publié dans "Recherches sur le XVIIème siècle", VIII, 1986

Effectuer une recherche sur « Le cercle mathématique de Spinoza » ne relève ni de la recherche historique tout court, ni de l’histoire de la philosophie seulement, mais bien de la philosophie elle-même. Toute recherche sur la filiation d’une idée enrichit en effet la compréhension de l’idée examinée et elle conduit à produire un concept nouveau. Or, le cheminement de la philosophie s’accompagne de la production de nouveaux concepts, la philosophie étant, comme les mathématiques, l’art d’élaborer des concepts.

L’idée dont il est question ici, concerne cette science de l’espace que constitue la Géométrie et donc l’espace en tant que concept de l’espace. S’interroger en philosophe sur la nature et les propriétés de l’espace, choisir au sein de la Géométrie, parmi les options possibles, tel ou tel autre système, telle ou telle forme de définition ou de démonstration, c’est s’intéresser, en philosophe, à un problème fondamental dont l’un des volets porte sur la nature de l’espace en tant que tel et l’autre volet porte sur les rapports de l’entendement avec cet espace (fictif ou réel), c’est-à-dire sur la connaissance.

Donner sa préférence à l’un ou l’autre des dispositifs que mettent en place les variétés de la démonstration géométrique, ou ne pas la donner, choisir par exemple la présentation algébrique des objets mathématiques ou bien la présentation constructiviste de ces mêmes objets, se ranger — comme l’aurait fait Spinoza — du côté de Hobbes au lieu de Descartes, c’est choisir à un niveau beaucoup plus fondamental qu’il n’y paraît d’abord entre des conceptions différentes de l’espace.

De l’espace, donc des corps. Des corps, donc de la Substance corporelle ou étendue. De l’étendue donc ; et de la Substance elle-même.

Mais c’est aussi choisir entre différentes conceptions des rapports de la Pensée à l’Étendue et donc de la manière dont la Substance s’exprime par les Attributs.

Opter pour l’une ou l’autre branche de la Géométrie, c’est donc affirmer une certaine manière d’entendre l’idée de Substance et c’est, en même temps, affirmer une certaine idée de l’essence de l’Attribut en tant qu’il exprime la Substance.

De quelle branche de la Géométrie relève donc le projet de présenter l’Éthique more geometrico ? À quelle Géométrie appartiennent les définitions constructivistes ou « génétiques » que privilégie l’auteur du Traité de la Réforme de l’Entendement ?

Pour répondre à ces questions, il faut examiner sans doute l’hypothèse avancée par Martial Gueroult, thèse suivant laquelle l’univers de référence spinozien en matière de Géométrie serait à chercher dans les écrits de Hobbes ; mais il importe tout autant, comme on le verra, d’étudier les travaux mathématiques laissés par certains des amis ou des correspondants de Spinoza.

Comme le relève Martial Gueroult dans l’ouvrage intitulé Spinoza : l’Âme, au volume 2¹, le projet qui consiste à vouloir exposer la philosophie more geometrico n’a « en soi rien d’original »². L’entreprise avait été tentée maintes fois déjà au cours des siècles et c’est une opinion ancienne que celle dont on retrouve par exemple l’écho dans la Theologia Platonica de Marsile Ficin, pour qui : « la Nature, pensée divine, produit ses choses selon les raisons, comme l’esprit du géomètre construit lui-même ses figures ». Dans la plupart de ces essais cependant, la méthode géométrique paraît avoir été appliquée à la philosophie de manière superficielle et constitue principalement un procédé d’exposition au lieu de la méthode d’invention que Spinoza a développée.

L’application des méthodes de déduction géométriques à la pensée philosophique répond chez Spinoza — à la différence des tentatives précédentes — à une loi interne de son système. « Chez Spinoza… cette application étant métaphysiquement fondée dans sa théorie de l’idée adéquate, lé procédé génétique étant généralisé dans la Géométrie même, la science, enfin, étant conçue comme engendrant la vérité à partir d’une idée vraie donnée, la genèse géométrique se pose comme le seul procédé possible de production du vrai »³. Aussi la méthode acquière-t-elle une puissance toute nouvelle que Descartes lui-même ne lui avait pas donnée. Si ce dernier, en effet, « a pu parler de méthode géométrique, s’il a dans un court essai ‘disposé ses raisons more geometrico’, il était avant tout attentif à l’ordre et non à la construction génétique, déclarant dans le Discours⁴ qu’il prenait son modèle moins dans la géométrie que dans l’arithmétique. De fait, on n’assiste jamais dans les Méditations, ni ailleurs, à une construction de concepts ». Si donc l’idée de l’intellection des figures par leur genèse interne est une idée commune à Descartes et à Spinoza et si le rapprochement effectué par Léon Brunschvicg⁵ entre « l’intuition cartésienne et l’intuition spinoziste » s’explique par là, « il est douteux — poursuit Gueroult — qu’il s’agisse de part et d’autre de la même genèse et de la même géométrie »⁶.

Et Martial Gueroult de conclure : « en revanche, si l’on se réfère aux ouvrages de Hobbes sur la réforme de la géométrie euclidienne, en particulier à son Examinatio et emendatio mathematicae hodiernae, publiée en 1660, un an avant la rédaction du De Intellectus Emendatione, il paraît évident que la source de la genèse spinoziste est là »⁷. Professant qu’il n’y a de science que par la cause — idée qui, au 17ème siècle est, comme on sait, des plus répandue[s] et à laquelle souscrivent également des penseurs aussi divers que Desargues, Tschirnhaus, Leibniz, etc. — Hobbes propose en effet de réformer la géométrie pour la rendre plus uniforme. La géométrie créant elle-même ses objets et pouvant derechef les connaître immédiatement dans leur cause, Hobbes vise à la perfectionner en excluant d’elle toutes les définitions et démonstrations autres que per generationem, et en substituant partout la descriptio generationis à la descriptio generati »⁸.

Gueroult cite encore l’opinion de Hobbes à propos de l’algèbre (un art médiocre et sans portée), opinion qui peut paraître conforme a celle qu’aurait professée Spinoza lui-même. Une remarque ici est toutefois nécessaire, c’est que d’une part, Spinoza n’a rien écrit et rien dit que nous sachions de la Géométrie analytique ou algébrique et que, d’autre part, Spinoza n’a pas dédaigné, dans le Traité de l’Arc-en-ciel, de se servir d’une démonstration algébrique probablement empruntée au Chanoine De Sluse⁹.

Tous les traits par lequels Spinoza caractérise la Géométrie sont, en résumé, pour Martial Gueroult, ceux-là même que souligne Hobbes¹⁰.

Ainsi, pour Hobbes :

1. Les causes des universalia sont connues de soi (notae per se).

2. Elles se réduisent à une : le mouvement.

3. De la variété des mouvements naît la variété des figures : Causa eorum omnium universalis una est motus ; nam et figurarum omnium varietatem ex varietate oritur motuum quibus construuntur nec motus aliam causam habere intelligi potest praeter alium motum (De Corpore, 1655, chap. VI, 5).

4. Le mouvement permet la définition per generationem, c’est-à-dire par la cause.

5. Par là est possible la science, puisque scire est per causam scire (Examinatio, Op. Lat., IV p. 42 ; De Corpore, chap. I, parag. 2, chap. VI, parag. 1, 4-6 ; De Homine, 1658, chap. X, parag. 4, Op. Lat., II, p. 92).

6. Du mouvement du point naît la ligne, du mouvement de la ligne la surface, du mouvement de la surface le corps (Examinatio, pp. 31, 33, 58 ; De Corpore, p. 63).

7. Ainsi, par le mouvement s’obtiennent toutes les définitions génétiques, par exemple celle du cercle : Circulus est figura descripta per lineae, in plano existentis (Examinatio, ibid. et p. 86 ; Six lessons to the Savilian Professors of the Mathematics, 1656, Eng. Works VII, pp. 215 sqq.).

8.  

   1. Ces définitions, contrairement aux définitions statiques, rendent compte de la possibilité de la chose (Examinatio, ibid. ; De Corpore, 1, parag. 5).

   2. Elles en font connaître toutes les propriétés : Ex generatione sola cognoscuntur constructi affectiones (Examinatio, p. 66 ; De Corpore I, chap. I, parag. 5, chap. VI, parag. 4-6 ; De Homine, chap. X parag. 4-5 ; Six lessons, pp. 210, 212, 214, etc.).

Or, s’il est vrai que les caractères que nous venons d’énumérer en citant Martial Gueroult ont été évoqués par Hobbes dans l’un ou l’autre de ses écrits, et s’il est vrai que ces mêmes caractères (à l’exception du 8.1) sont ceux-là mêmes que Spinoza a soulignés, il reste que dans les textes appelés et dans le De Homine par exemple, Hobbes introduit un élément de pensée que Gueroult a omis de relever alors qu’il est central dans la pensée du philosophe et jette celui-ci aux antipodes de la pensée spinozienne.

Dans le De Homine, au chapitre (chapitre X) et parag. 4 et 5 cités par Martial Gueroult, Hobbes écrit :

« Par science, on entend ce qui touche la vérité des théorèmes, c’est-à-dire des propositions générales, ou à la vérité des propositions conséquentes… Donc cette science par laquelle nous savons qu’un théorème est vrai est une connaissance dérivée des causes, ou, si l’on préfère, de la génération du sujet, au moyen d’un raisonnement correct.

[« ] … Ainsi la science démonstrative qui a été concédée à l’homme a priori est celle de ces seules choses dont la génération dépend de la volonté des hommes eux-mêmes »¹¹.

Et au paragraphe suivant, on lit :

« …Etant donné, en effet, que les causes des propriétés que possèdent les figures particulières résident dans les lignes que nous traçons nous-mêmes, et que les créations de ces figures dépendent de notre volonté, il n’est requis pour connaître ce qui appartient à une figure quelconque que de considérer tout ce qui découle de la construction que nous avons faite nous-même en traçant les lignes de la figure »¹².

Pour Hobbes, comme on sait, « le langage ou la parole, est l’enchaînement des mots que les hommes ont établis arbitrairement pour signifier la succession des concepts de ce que nous pensons. … ce que le vocable est à l’idée, ou concept d’une seule chose, la parole l’est à la démarche de l’esprit »¹³. Sa philosophie est nominaliste, et quand bien même ce nominalisme ne serait pas aussi radical qu’il y paraît à première vue, il est contraire au mouvement de pensée qui anime le De Intellectus Emendatione (de Spinoza). Radical : le nominalisme de Hobbes contredit la pensée spinozienne. Superficiel : il prête le flanc à la critique pénétrante de Descartes (Réponses aux Troisièmes objections, parag. 314) et il ne peut pas résister à celle que, dans le même esprit, aurait pu lui adresser Spinoza.

Quand celui-ci conseille le recours aux définitions génétiques ou constructives de préférence aux définitions nominales¹⁴, c’est parce que bien qu’étant a priori — et elles peuvent être, aussi bien, a posteriori, comme l’a montré Gilles Deleuze¹⁵ — les définitions génétiques sont des définitions réelles.

La distance entre Hobbes et Spinoza est à notre sens trop grande pour que puisse être établie une filiation de l’un à l’autre — comme le veut Martial Gueroult — en matière de Géométrie. Cette filiation nous paraît d’autant plus hypothétique, d’autant plus contestable qu’il y a, chez Euclide d’abord, chez Descartes ensuite, et surtout, dans les textes mathématiques laissés par certains des amis de Spinoza un recours fréquent — un recours parfois systématique — aux définitions géométriques de nature constructionniste. Au lieu de rattacher Spinoza à Hobbes, il est peut être plus simple, plus conforme aussi à la vérité, de les rattacher tous d’eux à une source commune d’origine post-Euclidienne et post-cartésienne c’est-à-dire « dérivée de penseurs qui ont suivi Descartes ».

En ce qui concerne Descartes et sa géométrie, il faut rappeler d’abord que le développement de la méthode dite « analytique » s’inscrit, aux yeux du philosophe, dans le champ d’invention d’une méthode universelle de pensée dont le Discours de la Méthode (deuxième partie) décrit la découverte. « Ces longues chaînes de raisons, toutes simples et faciles, dont les géomètres ont coutume de se servir pour parvenir à leurs plus difficiles démonstrations, m’avaient donné occasion — écrit-il — de m’imaginer que toutes les choses qui peuvent tomber sous la connaissance des hommes s’entresuivent de même façon, et que, pourvu seulement qu’on s’abstienne d’en recevoir aucune pour vraie qui ne le soit, et qu’on garde toujours l’ordre qu’il faut pour les déduire les unes des autres, il n’y en peut avoir de si éloignées auxquelles enfin on ne parvienne, ni de si cachées qu’on ne découvre ». Mais, ajoute-t-il dans ce texte célèbre : « je n’eus pas dessein pour cela d’apprendre toutes ces sciences particulières qu’on nomme communément mathématiques ; et voyant qu’encore que leurs objets soient différents, elles ne laissent pas de s’accorder toutes, en ce qu’elles n’y considèrent autre chose que les divers rapports ou proportions qui s’y trouvent, je pensai qu’il valait mieux que j’examinasse seulement ces proportions en général, et sans les supposer que dans les sujets qui serviraient à m’en rendre la connaissance plus aisée ; même aussi sans les y astreindre aucunement, afin de les pouvoir d’autant mieux appliquer après à tous les autres auxquels elles conviendraient ».

La Géométrie qui demeure liée à l’ensemble de la métaphysique cartésienne est donc d’abord une conception des proportions.

À la différence de la Géométrie antique dont le réalisme avait empêché les Grecs de posséder une véritable méthode et les faisait s’arrêter aux sections coniques traitées chacune pour soi et de façon particulière, la Géométrie de Descartes reçoit les figures non pour la réalité spatiale qu’on y rencontre, mais pour la faculté qu’on y reconnaît de représenter des rapports : « …ayant pris garde que, pour (les) connaître — (ces divers rapports ou proportions) — j’aurai quelquefois besoin de les considérer chacune en particulier, et quelquefois seulement de les retenir, ou de les comprendre plusieurs ensemble, je pensai que, pour les penser mieux en particulier, je les devais supposer (ces proportions) en des lignes, à cause que je ne trouvais rien de plus simple ni que je pusse plus distinctement représenter à mon imagination et à mes sens ; mais que pour les retenir ou les comprendre plusieurs ensemble, il fallait que je les expliquasse par quelques chiffres, les plus courts qu’il serait possible ; et que, par ce moyen, j’emprunterais tout le meilleur de l’analyse géométrique et de l’algèbre, et corrigerais tous les défauts de l’une par l’autre ».

Ainsi, la figuration des rapports dans l’intuition sensible sera subordonnée à l’entendement de ces rapports, que des équations vont représenter. Son principe est celui des « proportions exactes » et sa méthode consiste à les dégager pour accorder entre elles les proportions existant entre les quantités.

On doit à Jules Vuillemin¹⁶ de l’avoir montré. C’est, en effet, « parce qu’on a cru à la primauté du thème de la Géométrie analytique (telle qu’elle est aujourd’hui) qu’on a cru que Descartes, identifiant nombre et point, partait des points, c’est-à-dire des nombres, pour construire la droite. Or cette représentation, qui sera celle de ses successeurs, n’est point sienne ».

Et c’est pour exposer sa théorie géométrique des proportions, à laquelle il ramène la théorie générale des fonctions algébriques, que Descartes use d’une figure instrumentale, illustrée par une petite machine à réglettes mobiles qu’il faut examiner.

Cette machine « qui peut être regardée comme une machine à accroître et à composer le genre des courbes géométriques »¹⁷ est faite de trois réglettes reliées entre elles par des écrous, de manière à constituer une « équerre mobile ». Et elle est utilisée aussi bien au Livre II qu’au Livre III de la Géométrie où elle sert à construire des courbes d’un « genre » de plus en plus élevé, par un procédé de démonstration croissante et graduelle.

Le procédé mécanique de construction ne saurait, à lui seul, déterminer la nature de la courbe décrite — encore qu’il convienne aussi bien aux courbes algéebriques qu’aux transcendantes et à la spirale logarithmique par exemple ; à moins que ce ne soit justement parce qu’il convient aussi bien aux unes et aux autres — et il faut l’accompagner des démonstrations idoines.

Mais il sert également à la définition, définition génétique que les historiens de la philosophie ont le plus souvent négligée. Ainsi, au Discours VIII de la Dioptrique, Descartes donne une définition génétique, une définition constructive de l’ellipse et de l’hyperbole, qu’il emprunte à l’art des jardiniers « dans les compartiments de leurs parterres » et pour en « composer la broderie ». Et dans le Discours X sur « la façon de tailler les verres », Descartes donne la raison de l’importance accordée par lui à ces constructions mécaniques : elles permettent de former avec exactitude les instruments nécessaires au progrès de la Dioptrique¹⁸. Définitions donc, ou démonstrations : la machine de Descartes est une machine à penser ; c’est une machine à construire qui peut être nommée, comme l’a montré Jules Vuillemin¹⁹ « une (véritable) machine à proportions ».

Machine à proportions, machine à contraire, démonstrations constructives, définitions génétiques : voilà donc ce que l’étude des textes « scientifiques » de Descartes permet de découvrir et ce dont on verra le développement, de préférence à toute autre méthode, dans les travaux du mathématicien hollandais Franz Van Schooten.

Franz Van Schooten (1615-1660), professeur de mathématiques à l’université de Leyde, non seulement a connu Descartes avec lequel il établit des contacts personnels et des échanges dès 1635, mais il a enseigné les méthodes de la Géométrie cartésienne à de jeunes néerlandais (dès 1645) parmi lesquels compte Christian Huyghens.

Les « leçons » publiques qu’il a données à partir de 1651, ont d’abord été publiées avec l’aide de Berthelsen (l’un de ses étudiants) qui, reprenant ses « notes de cours » apporte à l’élite néerlandaise une première introduction à la Géométrie cartésienne. En 1649 est publiée, en Hollande, une traduction commentée de la Géométrie de Descartes, que ce dernier d’ailleurs a revue et corrigée. L’ouvrage inclut (conformément à une pratique que Van Schooten va répéter) les Notae breves de Debeaune ; et sera augmenté au fur et à mesure que les éditions se succèdent. On compte en effet plusieurs « révisions » aujourd’hui connues sous le titre : Principia Matheseos Universalis seu introductio ad Cartesianae Geometriae Methodum (Amsterdam, 1661 par exemple ; cote B.N. V 6231), où sont introduits, en plus des ajouts relatifs au Commentaire, les travaux de plusieurs jeunes (ou moins jeunes) mathématiciens, disciples de Van Schooten.

Citons parmi ceux-ci Debeaune, Huyghens, Hudde et Jean de Witt. Debeaune, avec une étude sur la théorie des équations ; Huyghens à propos d’un problème de tangentes (et de valeurs extrêmes) ; Hudde, avec deux textes qui feront école, bien qu’ils soient forts courts, sur les « maximaux et les minimaux » ; enfin, De Witt avec une percutante analyse des sections coniques que d’aucuns ont cru, pendant longtemps, complètement perdue. Huyghens, Hudde, De Witt… et Franz Van Schooten : voilà quelques-uns des mathématiciens que l’Histoire nous donne inscrits dans le cercle de Spinoza.

Parallèlement aux Principia Matheosos Universalis, Van Schooten publie des Exercitationes Mathematicae (1657, puis 1660) où il poursuit l’exposition de sa méthode de démonstration constructive d’une part, mais où est également présentée une théorie générale de la géométrie, à propos des sections coniques (Livre V) qui, tout en demeurant d’inspiration cartésienne, s’ouvre sur un champ nouveau : celui de la Géométrie perspective ou Optique.

Dans les deux ouvrages (que nous avons cités), Van Schooten se définit comme cartésien. C’est en effet la géométrie de Descartes qui lui sert d’univers de référence et c’est le système de notation cartésien (repris de Viète) qui est utilisé.

Van Schooten porte cependant deux principes tirés de Descartes : l’idée d’une machine à construire définitions et démonstrations, l’idée de l’analogie Optique/Géométrie, si haut et si loin, qu’un renversement est apporté à la théorie mathématique cartésienne.

La prédominance du parti « constructionniste » ou opératoire fait oublier en effet que pour Descartes, la Mathématique était d’abord et avant tout intellectuelle. Et de même, les rapports de l’Optique à la Géométrie sont tellement accentués qu’au lieu de constituer une « Optique géométrique », c’est-à-dire une Optique (et une Physique) dépendantes de la Géométrie (et des Mathématiques), le point de vue « Optique » déborde sur la Géométrie et transforme subrepticement celle-ci en une Géométrie du point de vue. La porte est grande ouverte aux recherches sur la « perspective » et en particulier aux travaux de Desargues que notre mathématicien néerlandais, en 1656, connaît de réputation.

Nous y reviendrons. Qu’il nous suffise en ce point de noter que les deux ouvrages laissés par Franz Van Schooten font partie de la bibliothèque personnelle de Spinoza, dont on a l’inventaire et ont été répertoriés sous les cotes 64 et 53 puis, dans la Bibliographie Spinoziste de Jean Préposiet²⁰, sous les cotes 46 et 38.

La partie proprement historique — ou historienne — de notre travail s’achevant, il nous faut maintenant aborder les questions relatives au contenu des textes mathématiques publiés dans le cercle de Spinoza. Nous examinerons les Traités de Van Schooten et de De Witt.

Mais plutôt que d’étudier chacun de ces mathématiciens séparément et successivement, nous dégagerons d’abord de leurs écrits ce qui est franchement cartésien et nous tenterons ensuite de cerner les éléments nouveaux ou d’inspiration différente. Nous exclurons toutefois (pour le moment tout au moins) les textes portant sur le Calcul des Chances — les probabilités —, le Calcul des taux d’intérêts et les valeurs extrêmes, minimales ou maximales, en matière de courbes algébriques.

Notre recherche actuelle se limite, en effet, à la géométrie.

Van Schooten, donc, écrivit un commentaire étendu sur la Géométrie de Descartes et fit de nombreuses applications de la méthode de celui-ci dans plusieurs parties des Exercitationes Geometricae. Au Livre III, par exemple, qui est la restitution des Lieux plans d’Apollonius ; et dans le livre V, intitulé « De lineis curvis Superiorum generum, ex solidi sectione ortis ». C’est là que se trouve le premier exemple de la méthode des coordonnées appliquées aux courbes considérées dans l’espace, encore qu’il faille remarquer, avec Michel Chasles²¹ « qu’il y est question seulement de courbes planes, et que Schooten n’a besoin d’employer que deux coordonnées. Mais ce genre de spéculations, nouveau alors, était un premier pas dans la Géométrie analytique à trois dimensions, qui… ne s’est développée que cinquante ans plus tard ».

Van Schooten traite également au livre IV de la « description organique des coniques », pour enseigner différentes manières de décrire ces courbes, d’un mouvement continu et il se sert, à l’instar de Descartes, d’une petite machine faite de réglettes mobiles et d’une équerre glissant le long d’un axe. Un peu plus complexe que la machine à démontrer de son prédécesseur, la machine de Van Schooten répond à la même nécessité : elle rend immédiatement perceptibles les rapports de proportions, et donc l’invariant. Elle « pose sous les yeux des lignes obtenues par une opération répétée de leur propre mouvement et d’un tracé continu ». « J’ai opté en faveur de la manière organique qui tire son origine du mouvement enchaîné », précise Van Schooten, « de préférence aux autres » méthodes, qui requièrent que « l’on renouvelle la détermination des points (de passage) assez souvent, et aussi toute l’adresse d’une main experte, ainsi qu’une explication détaillée de l’ouvrage »²². La description de l’ellipse, par un point d’une droite dont les extrémités glissent sur les côtés d’un angle, était déjà connue, note Chasles²³, Guido Ubaldi et Stévin l’avaient donnée et elle était due aux géomètres anciens, tel Proclus : Schooten toutefois la généralise, en prenant le point décrivant au dehors de la doite mobile.

Ainsi, Van Schooten pousse dans le sens de la généralisation ou de l’application généralisante les Méthodes géométriques établies par René Descartes. Il ne se prive pas, cependant, comme nous le verrons plus loin, d’adjoindre à celles-ci d’autres techniques, également performantes.

Il en est de même de Jean de Witt, dont le Traité intitulé : Elementa curvarum linearum (Traité en deux livres, publié par Van Schooten dans ses Principia Matheseos Universalis seu introductio ad Cartasianae Geometricae Methodum, à Amsterdam, en 1661) débute par une lettre²⁴ à Schooten où sont clairement indiquées les tendances de l’auteur.

« Les Anciens, écrit-il, nous ont assez clairement transmis, selon mon jugement, la nature véritable et intrinsèque, tout comme les propriétés les plus importantes des lignes droites, des angles sous lesquels elles se coupent et des figures composées de lignes droites qu’entendre leur rencontre, ainsi que celles des cercles. Mais les Modernes ont montré d’une manière plus générale et plus complète comment on peut résoudre et démontrer en se fondant sur ces enseignements (ceux des Anciens), voire simplement sur quelques-uns de leurs principes essentiels n’importe lequel des Problèmes Plans ou, d’une façon générale, tout ce qui pouvait encore manquer au traitement et à la connaissance des lignes droites, de leurs angles et des figures qu’elles composent, et ce grâce à quelque voie universelle et Méthode Analytique, qui procède en établissant des équations et par la Résolution de celles-ci ». « De telle sorte — ajoute De Witt — qu’un cercle étant donné, qu’il soit petit ou très grand, n’importe qui d’un peu versé dans les dits principes de la Géométrie des Anciens et des Modernes, résoudra avec facilité n’importe lequel des Problèmes Plans relatifs aux lignes droites[ ».] « Pour cette raison, j’ai toujours estimé superflu et sans intérêt de souhaiter de plus amples connaissances, ni quoique ce soit de présenté ou de démontré de manière nouvelle au sujet de ces matières ». Si donc la méthode cartésienne, « reprise des Anciens », lui paraît amplement suffisante pour la résolution des problèmes plans, il n’en est pas de même pour les problèmes solides. Car, écrit-il, « m’étant livré à une étude appliquée des Eléments des lignes de l’autre genre — à savoir les (lignes) courbes — pour autant que ces Eléments soient transmis par les Anciens et développés par les Modernes, j’ai estimé entièrement contraire à l’ordre naturel, lequel se doit observer autant que possible en Mathématique, de prendre l’origine de ces lignes courbes dans le solide²⁵ et de les transposer du solide sur un plan. Et ainsi j’ai jugé qu’en de nombreux endroits les démonstrations qui ont été données de ces mêmes Eléments étaient, pour le même motif et parce qu’elles s’appuient souvent sur diverses raisons composées, plus qu’obscures, et par la longue chaîne des Propositions suscitaient du dégoût et une surcharge de mémoire chez les Lecteurs ».

« Poussé par cette remarque, continue Jean de Witt, je me rendis bientôt compte — quand j’avais encore le loisir de me livrer aux études humanistes et à la connaissance des Arts Libéraux — que non seulement celles qu’on a communément appelées sections coniques, mais absolument toutes les lignes courbes, à quelque genre qu’elles appartiennent, sont produites, quoiqu’en de multiples manières, par la section de divers corps composés ou figurés de manières diverses, par la section de divers corps composés ou figurés de manières différentes ; mais que chacune d’entre ces lignes est encore engendrée dans un plan d’une infinité de manières et que la nature et les propriétés de ces lignes courbes se déduisent toutefois beaucoup plus aisément de cette génération que de la section des corps ».

Et c’est en effet ce à quoi s’attache le célèbre pensionnaire de Hollande, pour autant que ses « occupations plus sérieuses » le lui permettent, simplifiant de façon radicale la théorie analytique des lieux géométriques de Descartes. Il imagine « une théorie nouvelle et ingénieuse des sections coniques, fondée sur diverses desciptions de ces courbes sur le plan, sans se servir du cône, et dont il sut tirer avec habileté, par la pure Géométrie, leurs propriétés principales »²⁶ ; et ce, dans le premier livre du Traité.

Rompant ainsi avec la tradition grecque, De Witt, dans son premier Livre, dégage les coniques du traitement classique par la section du cône, mais il renforce ce faisant et développe d’autant plus le critère cartésien de « constructibilité ».

Le deuxième Livre recourt au traitement algébrique (et non plus géométrique) des courbes dont il produit les équations. Il permet de s’élever à partir des équations du premier degré jusqu’aux équations du second degré et même aux quadratiques par diverses transformations (translations et rotations des axes). Ce que De Witt explique : « … Je suis fermement convaincu que la seule raison pour laquelle personne n’a jusqu’ici expliqué ni démontré la formation, la nature, les propriétés, l’essence, les accompagnant d’une énumération précise des espèces des courbes du second genre et des degrés supérieurs, consiste en ce que, lorsqu’on a traité de la formation et de la génération des courbes du premier genre, comme lorsqu’on a démontré leur essence et leurs propriétés, on s’est détourné de la voie naturelle et la plus simple. Au contraire de cela, la simple considération de la façon dont ces courbes s’engendrent le plus simplement du monde — quoiqu’en diverses manières — dans un plan, aurait conduit l’entendement et l’imagination comme d’eux-mêmes à (la compréhension de) la genèse des courbes du second genre ».

En plus de l’algébrisation et de la simplification des courbes par la forme canonique, le livre II contient la propriété bien connue de la parabole relativement au « foyer » et à la « directrice », et la dérivation analytique de l’ellipse et de l’hyperbole, en tant que lieux des points dont la somme ou la soustraction des distances à deux points fixes demeure constante. C’est la raison pour laquelle les Elementa de De Witt sont aujourd’hui considérés par les mathématiciens — avec le Tractatus de Sectionibus conicis de John Wallis (1655) — comme les premiers textes relevant à proprement parler de la Géométrie analytique.

Ceci a fait oublier un autre des caractères de nouveauté qui font de cette œuvre un évènement dans l’histoire des mathématiques : c’est l’usage d’un mode de description de l’ellipse et l’hyperbole par la ligne droite (au lieu du cercle), et donc l’extension d’une méthode de description jusque-là réduite à la description de la parabole à l’ensemble des courbes du second genre.

Or, cette méthode est celle de Cavalieri qui en avait produit l’énoncé général, mais n’avait démontré sa validité que dans l’un de ses cas particuliers. La pensée qui a dirigé De Witt dans ses descriptions des coniques par la ligne droite, si elle n’est pas absolument nouvelle, apporte cependant une généralisation et un fondement si considérables à la méthode de Cavalieri, qu’elle présente réellement, comme l’écrit Michel Chasles²⁷ « un caractère de nouveauté qui mérite d’être remarqué dans l’histoire de la Géométrie ».

Ainsi, cartésien pour ce qui est de l’expression algébrique et du critère de constructivité, De Witt a su maintenir vivant l’héritage grec ancien d’une Géométrie pure, tout en se montrant, à ses heures, capable de reprendre, pour la développer, la méthode si singulière des Indivisibles de Cavalieri.

C’est cette même ouverture d’esprit, c’est cette même aptitude à l’appropriation que manifestent tous les mathématiciens de l’cole hollandaise et avec eux, le chef de file, (Franz) Van Schooten lui-même. Celui-ci n’hésite pas en effet, à user de la même Méthode des Indivisibles pour résoudre, dès le premier livre des Exercitationum…, le problème de la quadrature des sections coniques ; pas plus qu’il n’hésitera, dans le 2ème livre, à résoudre les problèmes comme l’avait fait De Witt, par la ligne droite seulement.

À la suite de ce livre, et sous le titre d’« Appendix », Schooten résout douze problèmes dans lesquels il suppose — comme le signale Michel Chasles — « des obstacles qui rendent invisibles, dans certaines positions, des lignes et des points » et confessant « qu’il a été porté à ce genre de recherches par la lecture d’un ouvrage intitulé Geometria peregrinans… ouvrage anonyme et sans date »²⁸, publié en Pologne²⁹, Schooten révèle une préoccupation que les Exerci[ta]tionum… démontrent avec force.

Pour Schooten en effet, l’accroissement de la Géométrie consiste d’une part, dans l’extension de la théorie vers une généralisation toujours plus grande mais elle est d’autre part et tout autant, dans l’application qui peut être faite (à l’imitation des Anciens) en vue d’élever des monuments ou résoudre des problèmes pratiques bien précis.

C’est ainsi que dans la Préface du livre IV, Van Schooten non seulement relate l’histoire des progrès réalisés par les géomètres à propos des sections coniques, mais il s’efforce de montrer « l’utilité de ces sections » et « à quoi peut servir leur description dans le plan »³⁰. Et notre mathématicien d’accumuler les raisons de « s’occuper de leur description avec le plus grand soin » ; l’Optique, la Gnomonique, la Mécanique — avec tous les Arts qui relèvent d’elle et dont se servent constamment les architectes, les charpentiers, les tailleurs de pierre, les tourneurs (et aussi : les jardiniers³¹ « afin de disposer de diverses manières les massifs dans le jardin ») — constituant autant de domaines où la connaissance approfondie des coniques s’imposent.

À propos de l’Optique, par exemple — « l’Optique, qui est la partie la plus amusante des Mathématiques et qui, en plus de la vision, de la lumière, de l’ombre et des couleurs, examine aussi les apparences diverses des objets et assigne les raisons de celles-ci »³² — il est facile à quiconque aura pris une sphère pour objet de s’apercevoir à quel point il est utile de faire intervenir le cône ainsi que les sections coniques.

« Si nous examinions l’Optique de plus près et que nous la subdivisions comme on le fait ordinairement en Catoptrique, Dioptrique et Perspective, l’emploi fréquent des coniques se révèlera(it). Car, en ce qui concerne la Catoptrique, sachant que celle-ci s’occupe d’expliquer les images qu’engendre en notre œil la réflexion des rayons dans des miroirs, et que de plus, nous essayons de fabriquer avec cette Science des miroirs aux effets étonnants — ainsi, par exemple (quand) par l’intervention de miroirs on allume quelque chose avec la lumière du soleil, ou lorsqu’ils (des miroirs) diffusent de façon surprenante la lumière de quelque chandelle — n’importe qui ne reconnaîtra-t-il pas l’impérieuse nécessité d’une description de la Parabole et de l’Hyperbole à cet effet, puisque de tels miroirs exigent absolument les formes que j’ai dites ? c’est ainsi que l’Hyperbole est requise pour faire se rencontrer en un seul point les rayons provenant de divers lieux, et (c’est) au contraire l’Ellipse (qui est requise) pour réfléchir ceux qui viennent d’un seul point (et vont) vers un autre point. Certes, elles (ces lignes) peuvent non seulement servir à des fins diverses, mais (elles) peuvent encore être employées avec le plus grand agrément pour produire des images des choses qui tiennent du prodige ».

« Tairai-je la Dioptrique ? » poursuit Schooten. La Dioptrique qui, « non seulement offre cette particularité que, sans elle, le fonctionnement de la vision ainsi que de la lumière et des couleurs ne peut en aucune façon recevoir d’explication, mais qui, de plus, a le privilège de nous enseigner à fabriquer des verres qui font brûler, ainsi que d’autres (verres) qui font dévier de façon diverse les rayons et qui servent tant aux tubes optiques qu’aux instruments qui aident la vue de multiples manières. Ne dira-t-on pas (que) la description des sections coniques (est) utile à ces effets, dès lors que la Dioptrique nous montre qu’il faut des verres en forme d’ellipse ou d’hyperbole ? On peut consulter sur ce point la Dioptrique du très noble et très célèbre René Descartes, (Dioptrique) dans laquelle il trouve avec une surprenante concision et beaucoup de finesse toutes (les) choses qu’il est possible de comprendre au sujet des réflexions, des réfractions et des choses visant à améliorer la vue, et où il a fait considérablement avancer celles qui avaient manqué jusqu’alors dans la connaissance des lois de la réfraction. Et si tu attends — continue Schooten — … les résultats que le très célèbre et très subtil Sieur de Beaune, Conseiller à Blois, a obtenus par la suite dans ce domaine, je ne vois pas ce que l’on peut réclamer encore dans ce genre ».

Et Van Schooten de vanter derechef les mérites d’une autre partie de l’Optique : « la Perspective apporte à l’Optique son couronnement ; Perspective qui ne vise pas simplement à regarder attentivement un objet comme le fait l’Optique, mais (vise) à tracer sur un plan la figure (de celui-ci) dans son apparence elle-même. On ne saurait mettre en doute à cet egard les progrès que peut entraîner une description organique des coniques dans l’art de projeter les cercles, car il est clair que semblable projection ne peut avoir lieu que par le moyen des sections coniques ». « Je pense d’ailleurs », précise-t-il, « qu’aucun qui a jamais tenté de faire un planisphère ne mettra en doute combien le tracé au compas d’une ellipse est plus fréquent que celui des autres figures. De sorte que, au cours de ce siècle, suite à une étude plus spéciale des coniques, l’Optique semble elle aussi portée à son faîte ; et l’on peut s’attendre à ce qu’elle parvienne à son achèvement total si nous obtenons les Livres restants des Coniques du très noble et très célèbre Sieur Claude Mydorge, Trésorier de Picardie en France, ainsi que les coniques du très pénétrant Sieur Des Argues. »

Les traits caractéristiques de l’école mathématique des Pays-Bas sont dès lors susceptibles d’être dégagés. Ces traits nous la donnent tout à la fois comme une école complètement autonome, indépendante des diverses tendances (qui, en France semble-t-il, se seraient affirmées contradictoirement) et comme très informée (et très curieuse) des recherches poursuivies ailleurs. Ce sont :

• le retour aux Anciens dont la Géométrie pure, partiellement restituée par Pappus³³, suscite l’intérêt le plus vif ; mais aussi et en même temps, le recours à l’expression algébrique des relations proportionnelles conformément aux travaux de Descartes.

• l’appel à des méthodes aussi particulières que la Méthode des Indivisibles de Cavalieri, ou les tentatives de Borelli pour démontrer l’un ou l’autre des postulats d’Euclide³⁴.

• l’affirmation massive de préoccupations non plus seulement « théoriques » mais également « pratiques », les Mathématiques abstraites devant accroître l’utilité de disciplines telles que la Dioptrique, la Catoptrique, la Perspective, la Gnomonique, ou la Mécanique.

La Mathématique — tout en gardant son nom — se change, par déplacement des centres d’intérêt, en une Physique, ce dont il ne faut guère s’étonner : de Vitellion à Philippe de la Hire, en passant par Jean Kepler, l’Optique (en tant que « partie des Mathématiques ») s’est attachée à décrypter les phénomènes : déformations venant des accidents de la vue, couleurs accidentelles, lieu apparent des objets, « … manière dont on juge de l’éloignement des objets par leur grandeur apparente »³⁵, etc.

L’Optique — ou la Mécanique, ou l’Astronomie… — vise à « expliquer les effets ». Et cette science des apparences s’accompagne du déploiement d’une Géométrie modale, d’une Géométrie du « point de vue » que nous avons appris à nommer « Géométrie projective » pour la différencier de la Géométrie euclidienne et de la Géométrie analytique, mais que Van Schooten par exemple appelera en toute simplicité : « la Perspective ».

Ainsi il est vrai que dans la Traité de la Reforme de l’Entendement, Spinoza donne le pas aux définitions génétiques sur celles qui procèdent par des abstraits. Et il est vrai par ailleurs que les mathématiciens, amis de Spinoza, ont subi l’influence de la Rhétorique cartésienne qu’ils se sont appropriée. Ces deux propositions ont conduit toutefois certains historiens (historiens de la philosophie ou des sciences) à opposer l’une à l’autre la Géométrie à laquelle fait référence Spinoza et la Géométrie d’origine cartésienne à laquelle se réfèrent les amis de celui-ci. Or, tous les mathématiciens qui entourent Spinoza ont prôné le recours à des définitions conctructivistes sans cesser pour autant de se réclamer de Descartes auquel ils empruntaient, par exemple, le système de notations. Il n’est donc pas impossible que le clivage établi par quelques historiens des sciences, et M. René Taton en particulier, s’avère artificiel à l’examen et qu’il relève d’une illusion rétrospective.

La coupure véritable, si tant est qu’il y en ait une au cours de cette étape de l’histoire de la Géométrie, la coupure pourrait bien être située ailleurs. Et il se peut que, plutôt que de faire se creuser le fossé qui séparera longtemps après la deuxième moitié du dix-septième siècle, les « cartésiens » des « non-cartésiens » et la Géométrie Analytique de la Géométrie Projective, la vérité consiste au contraire à le combler pour la période qui nous occupe, en reconnaissant un appareil langagier commun — venu de Descartes — et deux tendances dans l’exercice de la Géométrie, deux directions dans le champ de la Mathématique que le dix-septième siècle a seulement esquissées. Deux options que les siècles suivants ne manqueront pas de développer, en les distinguant, mais qui n’ont pas été perçues comme telles par les penseurs du dix-septième siècle faute d’avoir été, de leur temps, entièrement accomplies.

Du temps de Spinoza, la première tendance cherche à faire connaître les lois universelles de ce qui « est » comme l’Idée « est » au ciel des entités platoniciennes, pendant que la seconde s’efforce de connaître les lois qui régissent la représentation des choses telles qu’elles apparaissent. La première tendance va dans le sens du mouvement de pensée dont est issue l’Optique géométrique ; la seconde élabore les fondements d’une Géométrie Optique. La première est cartésienne et cartésienne seulement ; la seconde est cartésienne avec un « plus ».

Or, c’est à cette dernière que travaillent certains des amis et correspondants de Spinoza et c’est dans cette aire qu’il convient, à notre sens, d’assigner les références mathématiques et la Géométrie de Spinoza.

Paris, le 19 janvier 1983.